Решение задачки про подшипник от Председателя

Веселую задачку про подшипник из "физбоя" я опубликовал неделю назад. Всю неделю вокруг нее не утихали страсти. Лучшие умы ИМХОклуба спорили со мной на виски... Публикую свое решение.


Условие задачи:

Колесо телеги, равномерно двигающейся по дороге, насажено на ось посредством шарикоподшипника.



Отношение радиусов внешней и внутренней обоймы шарикоподшипника R:r = 3:1 (см. рис.). Сколько раз шарик подшипника обернулся вокруг своей оси, если колесо телеги сделало один полный оборот? Шарик между обоймами движется без скольжения.


Решение:

Задачу каверзную сию можно решить несколькими способами, но самый наглядный (ИМХО) – если расчеты построить на мгновенных скоростях перемещения точек подшипника.



Обозначения:

О – центр оси подшипника
А – точка касания шарика и внутренней втулки
В – центр шарика
С – точка обоймы, которой шарик касается в начале движения

V – скорость перемещения точки касания шарика и внутренней втулки
V1 – скорость перемещения центра шарика
V2 – скорость перемещения обоймы подшипника

L – длина окружности втулки подшипника
L1 – длина окружности движения центра шарика подшипника
L2 – Длина окружности обоймы подшипника

r – радиус втулки подшипиника
R =3r – радиус обоймы подшипника


1) Принимаем скорость перемещения точки касания шарика с втулкой подшипника (А) за V.

2) Тогда скорость перемещения центра шарика V1 будет пропорциональна отношению отрезков ОА и ОВ. В нашем случае это 2. То есть скорость перемещения точки V1 будет равна 2V.

3) Рассчитать  скорость перемещения точки касания шарика и внешней обоймы С несколько сложнее, поскольку шарик не только перемещается по дуге L1, но и вращается вокруг своей оси. То есть к скорости перемещения центра шарика добавляется скорость вращения шарика.

4) Для начала рассчитаем составляющую скорости точки касания, вызванную вращением шарика. Это лучше представить в виде такого рисунка: между двумя плоскими поверхностями лежит шарик.



Если теперь мы приведем в движение центр шарика со скоростью V1, то верхняя поверхность начнет двигаться относительно нижней поверхности со скоростью V2 = 2*V1 – просто по закону рычага.

5) Итак, вернемся к подшипнику. Мы определили, что при движении шарика по неподвижной поверхности, когда его центр смещается со скоростью V1, противоположная его точка движется с удвоенной скоростью — 2*V1.

6) Отсюда все просто решить: при вращении подшипника скорость перемещения с верхней обоймы равна V2 = 2*V1 = 4V.

7) То есть, при полном обороте верхней обоймы подшипника точки ее окружности пройдут путь 2ПR = 6Пr. И в этом случае центр шарика переместится по дуге L1 на расстояние 3Пr – то есть на ¾ ее длины. Следовательно, шарик сделает вокруг оси подшипника О — ¾ оборота.

8) А теперь самое неочевидное, на чем много народа попало. Сколько оборотов делает шарик вокруг своей оси при совершении полного оборота вокруг оси втулки подшипника? Ответ: два! Вот рисунок:



9) Итак, если при полном обороте вокруг втулки шарик делает 2 оборота вокруг своей оси, то при ¾ оборота вокруг втулки – 1,5 оборота вокруг своей оси.

10) Виски (кто проспорил) — на бочку!


Для тех, кто еще не верит, вот анимация:



А для тех, кто так и не понял, вот специальная прога: https://www.sugarsync.com/pf/D6081763_8278587_700641
Скачивайте, распаковывайте, крутите в разные стороны, считайте обороты (вирусов не бойтесь, прога специально изготовлена для этой задачи).