Юра, согласен с Вами - 3/4 оборота вокруг центральной оси. За половину оборота вокруг центральной оси шарик делает один оборот вокруг своей. Все таки ночью отвечать не стоит...:-)  Насчет метода, то это и не метод - так воображение, возможно ошибочное. Странно, что ответ совпал. Потом проверю, если что. найду другое решение.
П.С. знак Пи из формул куда то исчез. Я его копи-пастил. Наверное  был графический формат.

Можно и поспорить.. ;-)  Шарик сделает 1,5 оборота и вокруг своей оси и вокруг центральной. Радиусы то у них одинаковые и проскальзывания нет. А задачу эту я решал очень простым способом. Поверхность центральной оси представил плоской поверхностью(по чем катить шарик нет разницы). Внешний обод представил линейкой длиной 6r (из условия, что колесо делает 1 оборот). Теперь ставим шарик на старт и катим его линейкой. Когда конец линейки дойдет до стартовой позиции шарик откатится на половину длины линейки, т.е. на 3r. Т.к. длина окружности шарика 2r, то поделив 3r на 2r получим 1,5 оборота. Почему так происходит? Допустим  шарик прокатился  по поверхности на расстояние L, тогда и линейка (обод колеса),  при отсутствии проскальзывания, относительно шарика сместится тоже на расстояние L. Значит линейка относительно поверхности(центральной оси) сместится на сумму этих расстояний, т.е. на 2L. Думаю ход мыслей понятен, а то в 2 часа ночи у меня они сами путаются. Задачку решил давно, вот только сейчас добрался ответить... Люблю решать задачи на воображение и логику. В школе когда то решал все, что было в пределах досягаемости.  :-)

КопенгагИне(брр как не красиво) -> Копенгагене   :)

Замечательное начинание. Респект всем кто приложил руку к созданию этого центра. Нужно больше рекламировать такие начинания на этапе создания, что бы все желающие могли внести посильный вклад, кто делом, кто деньгами. Думаю многие имхоклубовцы поддержали бы такое начинание. В Риге есть подобный центр tehno annas pagrabi. Детям там тоже  было всегда очень интересно. Тематика экспозиций у них периодически менялась(места там очень мало). Был даже свой маленький планетраий. Что сейчас там, не знаю. Если есть дети соответствующего возраста, рекомендую посетить.
   Из подобных центров мне с сыном больше всего понравился Экспериментариум в Копенгагине(их там несколько). На очень большой площади представлены практически все предметы - физика, химия, биология, природные явления и т.д. Главное, что все доступно и понятно для детей. Они могут участвовать во всех явлениях, сами управлять, крутить и т.д. По периметру этого огромного зала находятся кафе и комнаты отдыха для взрослых. Т.е. пришел запустил своего чада а сам можешь кофе попить, книжку почитать или в интернете покапаться. Там же проходят выездные уроки у школьников. Они приезжают всем классом и там делают лабораторные работы. Вот  где развивается интерес к науке, экспериментам и т.д. Нам с сыном не хотелось от туда уходить. Интересно всем и взрослым и детям. Даже не хочется перечислять что там есть, т.к. это не возможно сделать. :) Вот что надо строить, а не "замки света". Хотя может это вариант.... как с пользой использовать этого монстра? :)